SG函数入门

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发布时间：2019-06-13

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SG函数入门

必胜点与必败点

概念

P点：必败点，换句话说，就是在双方都选择最优策略的情况下，谁处于此状态谁必败。

N点：必胜点，换句话说，就是在双方都选择最优策略的情况下，谁处于此状态谁必胜。

性质

1.所有的终结点都是必败点P。

2.从任意的必胜点N进行操作，至少有一种方式到达一个必败点。

3.从任意的一个必败点P进行操作，只可能到达必胜点N。

我们研究必胜点与必败点的目的是以此为题来简化博弈的情况，有助于我们分析策略。通常我们分析必胜点和必败点都是以终结点为起始点进行逆序分析。

我们以一道题为例

例题

题目描述

大学英语四级考试就要来临了，你是不是在紧张的复习？也许紧张得连短学期的ACM都没工夫练习了，反正我知道的Kiki和Cici都是如此。当然，作为在考场浸润了十几载的当代大学生，Kiki和Cici更懂得考前的放松，所谓“张弛有道”就是这个意思。这不，Kiki和Cici在每天晚上休息之前都要玩一会儿扑克牌以放松神经。

“升级”？“双扣”？“红五”？还是“斗地主”？

当然都不是！那多俗啊~

作为计算机学院的学生，Kiki和Cici打牌的时候可没忘记专业，她们打牌的规则是这样的：

1、总共n张牌;

2、双方轮流抓牌；

3、每人每次抓牌的个数只能是2的幂次（即：1，2，4，8，16…）

4、抓完牌，胜负结果也出来了：最后抓完牌的人为胜者；

假设Kiki和Cici都是足够聪明（其实不用假设，哪有不聪明的学生~），并且每次都是Kiki先抓牌，请问谁能赢呢？

当然，打牌无论谁赢都问题不大，重要的是马上到来的CET-4能有好的状态。

题目大意

现在有n张牌两个人取每次每个人只能取\(2^k\)张牌问是否先手必胜（肯定有万恶的多组数据）

当 n = 0 时，显然为必败点，因为此时你已经无法进行操作了

当 n = 1 时，因为你一次就可以拿完所有牌，故此时为必胜点

当 n = 2 时，也是一次就可以拿完，故此时为必胜点

当 n = 3 时，要么就是剩一张要么剩两张，无论怎么取对方都将面对必胜点，故这一点为必败点。

以此类推，最后你就可以得到；

n ： 0 1 2 3 4 5 6 ...

position： P N N P N N P ...

然后我们发现这道题的 P/N点的分布是有规律的，所以我们就可以O(T)的求解这道题了。

然后呢我们来考虑更加复杂的一个问题

例题

题意

先说题意，有两个人在玩一个方格游戏，起初是一个n×m的方格，刚开始在(1,m)坐标处有一个石子，每一次每个人可以把石子移向向下，向左，向左下,等到当前的人无法进行移动时，这个人失败，每次都是先手先走，问最终的答案。

思路

这是一道非常裸的NP状态转移的博弈问题。

这类题我们最好画一个表格，然后发挥自己的想象去找规律。

由于我们每次只能向左下角走，所以显然左下角为必败点。

那么所有可以到达这个点的点都为必胜点，然后我们一步步往下推最后一定可以得到一个类似这样的表格。

P	N	P	N
N	N	N	N
P	N	P	N
N	N	N	N
P	N	P	N

我们可以发现规律只有当行列都为奇数时才为必败点，其他情况均为必胜点

所以这道题当行列都为奇数时Kiki无法赢得比赛。

SG 函数

首先我们需要先了解一个运算mex，这是一个对于集合的运算，mex(S)表示集合S中最小没有出现过的自然数。例如：mex{0,1,2,4}=3，mex{2,3,5}=0，mex{}=0

对于任意状态x，我们定义SG(X)=mex(S)，其中S表示x的后继状态的SG函数值的集合。举个栗子：x有三个后继状态分别为SG(a)，SG(b)，SG(c)；那么SG(x)=mex{SG(a)，SG(b)，SG(c)}。这样的集合S的最终状态必然是空集，所以当某一点的SG(x)=0，当且仅当x为为必败点时成立。

Sprague-Grundy定理（SG定理）

游戏的SG和等于各个游戏的SG函数的Nim和。这样就可以把一个游戏分而治之，从而简化问题。而Bouton定理就是SG定理在Nin游戏中的直接应用，因为单堆的Nim游戏SG函数满足SG(x)=x.

举个栗子

取石子

题面

有1堆n个的石子，每次只能取{ 1, 3, 4 }个石子，先取完石子者胜利，那么各个数的SG值为多少？

思路

先找终结点当个数为0时。那么有SG[0]=0，f[]={1，3，4}.

x=1时，可以取走1-f[1]个石子，剩余{0}个，所以SG[1]=mex{SG[0]}=mex{0}=1;

x=2时，可以取走2-f[1]个石子，剩余{1}个，所以SG[2]=mex{SG[1]}=mex{1}=0;

x=3时，可以取走3 - f{1,3}个石子，剩余{2,0}个，所以 SG[3] = mex{SG[2],SG[0]} = mex{0,0} =1;

x=4 时，可以取走4- f{1,3,4}个石子，剩余{3,1,0}个，所以SG[4]=mex{SG[3],SG[1],SG[0]} = mex{1,1,0} = 2;

x=5 时，可以取走5 - f{1,3,4}个石子，剩余{4,2,1}个，所以SG[5]=mex{SG[4],SG[2],SG[1]} =mex{2,0,1} = 3;

以此类推……

x	0	1	2	3	4	5	6	7
SG[X]	0	1	0	1	2	3	2	0

由上述实例我们就可以得到SG函数值求解步骤，那么计算1~n的SG函数值步骤如下：

1、使用数组f 将可改变当前状态的方式记录下来。

2、然后我们使用另一个数组将当前状态x 的后继状态标记。

3、最后模拟mex运算，也就是我们在标记值中搜索未被标记值的最小值，将其赋值给SG(x)。

4、我们不断的重复 2 - 3 的步骤，就完成了计算1~n 的函数值。

//f[N]:可改变当前状态的方式，N为方式的种类，f[N]要在getSG之前先预处理//SG[]:0~n的SG函数值//S[]:为x后继状态的集合int f[N],SG[MAXN],S[MAXN];void getSG(int n) {    int i,j;    memset(SG,0,sizeof(SG));//因为SG[0]始终等于0，所以i从1开始    for(i=1;i<= n;i++) {//每一次都要将上一状态 的 后继集合 重置        memset(S,0,sizeof(S));        for(j=0;f[j]<=i&&j<=N;j++)            S[SG[i-f[j]]]=1;//将后继状态的SG函数值进行标记        for(j=0;;j++)             if(!S[j]) {//查询当前后继状态SG值中最小的非零值            SG[i] = j;            break;        }    }}

题面

任何一个大学生对菲波那契数列(Fibonacci numbers)应该都不会陌生，它是这样定义的：

F(1)=1;

F(2)=2;

F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n>=3);

所以，1,2,3,5,8,13……就是菲波那契数列。

在HDOJ上有不少相关的题目，比如1005 Fibonacci again就是曾经的浙江省赛题。

今天，又一个关于Fibonacci的题目出现了，它是一个小游戏，定义如下：

1、这是一个二人游戏;

2、一共有3堆石子，数量分别是m, n, p个；

3、两人轮流走;

4、每走一步可以选择任意一堆石子，然后取走f个；

5、 f只能是菲波那契数列中的元素（即每次只能取1，2，3，5，8…等数量）；

6、最先取光所有石子的人为胜者；

假设双方都使用最优策略，请判断先手的人会赢还是后手的人会赢。

数据范围为1000

#include 
    
     #include 
     
      #define MAXN 1000 + 10#define N 20int f[N],SG[MAXN],S[MAXN];void getSG(int n){    int i,j;    memset(SG,0,sizeof(SG));    for(i = 1; i <= n; i++){        memset(S,0,sizeof(S));        for(j = 0; f[j] <= i && j <= N; j++)            S[SG[i-f[j]]] = 1;        for(j = 0;;j++) if(!S[j]){            SG[i] = j;            break;        }    }}int main(){    int n,m,k;    f[0] = f[1] = 1;    for(int i = 2; i <= 16; i++)        f[i] = f[i-1] + f[i-2];    getSG(1000);    while(scanf("%d%d%d",&m,&n,&k),m||n||k){        if(SG[n]^SG[m]^SG[k]) printf("Fibo\n");        else printf("Nacci\n");    }    return 0;}